L'evoluzione di Zenone nel tempo

Riccordate l’effetto quantistico di Zenone? C’è una piccola novità cui sono incappato recentemente scrivendo il digest del Journal of Mathematical Physics vol.58, n.3.
Proviamo prima di tutto a ricapitolare: uno dei paradossi di Zenone più noti è quello della freccia: se si scaglia una freccia contro un condannato a morte, questa per percorrere tutta la distanza, dovrà prima percorrerne metà. Una volta coperta la distanza $1/2$, le resterà un altro $1/2$ da percorrere, ma anche di questo tratto ne coprirà prima un’altra metà, ovvero $1/4$ e così via. Nell’ottica dell’aritmetica greca, questo implicava per Zenone che la freccia non avrebbe mai colpito il condannato, di fatto negando filosoficamente il moto.

da Filozofy

Un paradosso simile, come osservato da Alan Turing, avviene anche in meccanica quantistica. La sua formulazione più semplice è fornita dalla seguente citazione:

Gli assiomi standard della meccanica quantistica implicano che nel limite di osservazioni continue un sistema quantistico non può evolvere.
(Andrew Hodges in Alan Turing: the logical and physical basis of computing - pdf)

Ora due ricercatori italiani, il fisico Paolo Facchi e la matematica Marilena Ligabò, entrambi dell’università di Bari, hanno studiato l’effetto quantistico di Zenone su tempi lunghi⁽¹⁾. In particolare si sono concentrati sul comportamento matematico della probabilità quantistica $p^{(N)} (t)$, quando sia il tempo $t$ sia il numero di misure effettuate $N$ tende all’infinito.
I due ricercatori hanno osservato che il valore di $p$ dipende da un parametro reale $\alpha$: per $0 \leq alpha \leq 1/2$, il sistema è congelato nel suo stato iniziale e quindi il QZE ha luogo; per $1/2 < \alpha < 1$, il sistema presenta un comportamento classico; per $\alpha = 1/2$, la probabilità ha un andamento gaussiano, $e^{-t^2 / \tau^2}$, dove $\tau \propto \hbar^{-2}$.
Infine

se $\alpha \geq 1$ il limite della probabilità è una bestia strana e diventa sensibile alle proprietà spettrali dello stato $\psi$⁽¹⁾.

Questo, da un punto di vista fisico, complica la situazione e rende necessarie ulteriori analisi. Resta però interessante l’idea che tale effetto possa avere anche un’azione a lungo termine sui sistemi quantistici.

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1. Facchi, P., & Ligabò, M. (2017). Large-time limit of the quantum Zeno effect Journal of Mathematical Physics, 58 (3) DOI: 10.1063/1.4978851 (arXiv) ↩ ↩ ↩

Il paradosso quantistico di Zenone

E' semplice mostrare utilizzando la teoria standard che se un sistema parte in un autostato di una qualche osservabile, e le misure sono fatte tali da osservare N volte in un secondo, allora, anche se lo stato non è stazionario, la probabilità che il sistema sarà nello stesso stato dopo, diciamo, un secondo, tende a uno al tendere di N all'infinito; cioé, che l'osservazione continua impedirà il moto ...
(Alan Turing citato da Andrew Hodges in Alan Turing: Life and Legacy of a Great Thinker)

o in termini più semplici

Gli assiomi standard della meccanica quantistica implicano che nel limite di osservazioni continue un sistema quantistico non può evolvere.
(sempre Andrew Hodges in Alan Turing: the logical and physical basis of computing - pdf)

Inizialmente noto come paradosso di Turing, in onore del matematico che lo formulò negli anni Cinquanta del XX secolo, venne successivamente identificato come effetto quantistico di Zenone, risultando nei fatti una versione avanzata del famoso paradosso di Zenone della freccia, il cui risultato ultimo era la negazione del moto. Una prima formulazione e derivazione dell'effetto la si trova in Does the lifetime of an unstable system depend on the measuring apparatus?, mentre i primi a identificarlo come paradosso quantistico di Zenone furono George Sudarshan e Baidyanath Misra, che stabilirono che una particella instabile non decadrà mentre è tenuta sotto continua osservazione⁽¹⁾ per capire se decadrà o meno. Gli stessi autori, però, cercano di salvare capra e cavoli (ovvero la giustezza matematica del teorema con il senso comune quantistico):

Esiste un principio fondamentale nella teoria quantistica che nega la possibilità dell'osservazione continua.⁽¹⁾

D'altra parte gli italiani Ghirardi, Omero e Rimini, insieme con Weber mostrano che:

(...) ove si tenga conto in modo appropriato delle relazioni di indeterminazione, l'argomento che porta al paradosso [quantistico di Zenone] non è più valido.⁽²⁾

Il punto cruciale nella dimostrazione di Ghirardi e soci è il principio di indeterminazione di Heisenberg riformulato per tempo ed energia⁽³⁾:

Rosso di sera, rosso di mattina

A volte succede che uscendo dalla metropolitana e andando verso l'autobus che mi avrebbe portato a Pioltello questa mattina per il primo dei due giorni della supplenza da 6 ore che mi porterò fino a giugno (se non decido di scappare prima), osservo il cielo, che poi a quell'ora della mattina quando esco il lunedì è tutto scuro. A parte una lieve luminescenza rossastra sul fondo (quel po' di fondo che si vede tra i palazzi) e subito penso al famoso detto meteorologico:

Rosso di sera, bel tempo si spera.
Rosso di mattina, mal tempo si avvicina.

E poi ha piovuto, non tantissimo, ma ha piovuto. La cosa però interessante è che da questo proverbio, applicato a Milano, sono arrivato al famoso paradosso di Zenone⁽¹⁾, quello di Achille che insegue la tartaruga e non la prende mai. Il fatto interessante nel paradosso è che può essere risolto in almeno tre modi differenti.
Il paradosso venne pensato da Zenone per essere applicato prima su Achille, che dimezza la distanza con la tartaruga per passi successivi senza raggiungerla mai, e poi su una freccia che deve colpire un condannato a morte, e anche in questo caso dimezzando la distanza per passi successivi non colpisce mai il suo bersaglio. La natura paradossale degli assunti sta nel fatto che la loro realtà negherebbe il movimento, che però esiste e viene sperimentato e quindi inevitabilmente quello di Zenone è un paradosso semplicemente perché siamo in grado di muoverci e generare movimento.
Se però, così, vi sembra che sto barando, ecco che ci vengono in aiuto Newton e Leibniz e la matematica delle serie. In questo caso si può associare al paradosso di Achille e della tartaruga una serie di termini infiniti che però alla fine converge, e quindi Achille cattura la povera tartaruga (per farne una zuppa, immagino).
Se poi il nostro eroe si affida alla fisica la conclusione della storia arriva anche prima. Il problema può essere impostato con una equazione fisica in cui si impone una variazione di velocità nel tempo tale da dimezzare la distanza ogni secondo, un po' come immaginare una forza esterna che rallenta Achille (in fisica, a velocità costante maggiore non esisterebbe alcun paradosso, come potete immaginare), e anche in queston caso Achille cattura la tartaruga.
D'altra parte, spingendo il fisico sul suo essere fisico, vi potrebbe tranquillamente dire: quando misuro una distanza, questa si porta sempre dietro un errore, quindi per il fisico Achille catturerà sicuramente la tartaruga perché prima o poi il dimezzamento della distanza sarà inferiore all'errore commesso per misurarla.
Gli errori di misura. Qualcosa che ho cercato di mettere nella testa di quei quattro gatti dei miei attuali studenti (intendo quelli che hanno voglia di ascoltare, che poi c'è la solita gran massa di tizi più interessati a perder tempo per arrivare a fine giornata e aprire facebook sul telefonino), qualcosa su cui si fonda la fisica. O ancora meglio, riprendendo le parole di Paolini nel suo spettacolo ITIS Galileo che era qui a Milano a Novembre, è merito di Galileo se l'errore ha oggi raggiunto una sua dignità. In un certo senso è proprio nel lavoro certosino che fanno gli sperimentali per migliorare gli errori con i quali conosciamo le leggi della fisica che si nascondono i progressi della fisica sperimentale.
Quella di domani alle 14, per intenderci.

(1) Il percorso mentale è molto semplice: molto spesso il cielo di Milano minaccia pioggia, e questa mattina mi sono chiesto se sarebbe arrivata o se, come al solito, avrebbe fatto come Achille, avvicinandosi senza mai arrivare.