2... 4... 8...

Quante serie riuscite a scrivere i cui primi termini iniziano per 2, 4, 8? Oltre quella banale, personalmente ne ho trovate almeno altre due, ma già immagino un modo per trovarne un altro paio incastrando le due che ho già trovato. In effetti si potrebbe dire che questo giochino non è troppo differente dal cercare un codice crittografico, ma decisamente più semplice. L'idea che dietro la serie ci possa essere più di una regola, se diamo solo i primi tre numeri, è stata espressa, ad esempio, ne La serie di Oxford, un bel romanzo su omicidi e matematica dove uno dei protagonisti è proprio il trio 2-4-8 di cui sopra, ed è stata ribadita nel simpatico video che segue (via digg), ispirato alla teoria del cigno nero di Nassim Taleb:

Piccolo teorema sui cerchi e le corde

Due circonferenze si intersecano nei due estremi della corda $AB$. Scelto $C$ sull'arco $AB$ maggiore (sulla circonferenza di raggio inferiore) congiungere gli estremi della corda con $C$ e prolungare le rette per incontrare la seconda circonferenza nei punti $D$ ed $E$. Dimostrare che la lunghezza della corda $DE$ è indipendente dalla scelta del punto $C$.
Questa è la traduzione, in un linguaggio che spero si nasconda bene con quello di teoremi simili, di un problema geometrico proposto ieri da +Marco Cameriero su GPlus:

Facendo riferimento a un disegno che ho realizzato ieri al volo su carta, e che Marco ha avuto modo (e tempo) di sistemare con GeoGebra, eccovi la dimostrazione del teorema poco meno di 10 passi:

Batman #22: lacrime per un figlio

Breve recensione di Batman #22, che non verrà pubblicata su LSB a causa di un ritardo, da parte mia, nella sottomissione. Spero che questa variazione sul tema del blog non vi dispiaccia. Ad ogni modo vi segnalo la mia brevisione del primo numero de Le nuove avventure di Superman.

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Lo scontro con Clayface, iniziato nel numero scorso, può certo essere considerato come una sorta di fill-in in due parti, il giusto modo per Scott Snyder di riposarsi dalle fatiche di Morte della famiglia (e in preparazione per Anno Zero), però anche su una storia di passaggio come questa dimostra di essere uno dei migliori sceneggiatori di fumetti statunitensi. Ad esempio, sempre in Morte della famiglia, inizia una delle storie di cui la saga è costituita con un primo piano dell'occhio del Joker e un mini-trattato sull'occhio, scritto stilisticamente proprio come un trattato scientifico divulgativo. Quando invece si arriva a Batman #20 (sul 22.mo numero dell'edizione italiana), Snyder riesce a condensare il suo Batman/Bruce Wayne nelle ultime quattro pagine de L'uomo che non c'è: certamente un abile stratega, in grado di prevedere quasi tutti gli imprevisti, ma decisamente molto più umano rispetto al Batman milleriano. Bruce, infatti, si dimostra allo stesso tempo fragile, facilmente attaccabile negli affetti affetti, ancora chiuso sul suo dolore. Toccanti, in questo senso, le ultime vignette di Greg Capullo, con Alfred, che tende una mano al figlioccio, e Bruce che piange, mentre condivide con Alfred le registrazioni di una delle ultime missioni di Damian. Lo stesso lettore, colto dalle emozioni, quasi dimentica che Damian è solo un personaggio dei fumetti.

May your love never end and if you need a friend,
there's a seat here along side me.
(da Roads untraveled dei Linkin Park)

Prepariamoci al Pi Day 2014

Per il terzo anno consecutivo sono orgoglioso di ospitare l'edizione del Carnevale della Matematica che coincide con il Pi Day, ovvero quella che verrà pubblicata il 14 marzo 2014. Sicuramente il grande protagonista sarà pi greco: spero infatti di riuscire a proporre anche quest'anno le Notizie pi greche, che mi hanno permesso di parlare del numero archimedeo per eccellenza all'interno del Carnevale stesso senza dover costringere alla lettura di una lunga introduzione.
Per chi vuole partecipare all'edizione, segnalo i soliti canali, che vanno dall'e-mail:

passando anche per twitter, GPlus, tumblr.
Per chi è alla ricerca di ispirazione, poi, segnalo le edizioni del Carnevale cadute nel pi day:

Carnevale #11 | Carnevale #23 | Carnevale #35 | Carnevale #47 | Carnevale #59

Può anche essere di ispirazione il sito Imaginary, da cui già il sottoscritto potrebbe trarre qualche ispirazione per le Notizie pi greche della scorsa edizione.
Ricordandovi che l'edizione precedente, la #70, è stata ospitata dai Rudi Mathematici, non mi resta che aspettare i contributi per festeggiare degnamente il pi greco e la matematica!

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(immagine via slightlyslantedeyes)

Un buco nero nel taschino

Grazie alla gif animata qui sotto, condivisa da +Marco Cameriero (ma ora, dopo la pubblicazione automagica su G+ gli andrà una notifica matemistica?), recupero, in italiano, un post che ho pubblicato a settembre 2013 su Doc Madhattan.

Sagittarius A* (Sgr A*) è una sorgente radio astronomica brillante e molto compatta al centro della Via Lattea, vicino al confine delle costellazioni del Sagittario e dello Scorpione. SGr A* è parte di una più grande figura astronomica nota come Sagittarius A. Si crede che sia la posizione di un buco nero supermassiccio^{(1, 2)}, come quelli che generalmente si ritiene si trovino al centro di molte galassie ellittiche e a spirale. Osservazioni della stella S2 in orbita intorno a Sgr A* sono state utilizzate per mostrare la presenza, e produrre dati sul buco nero supermassiccio al centro della Via Lattea, e hanno portato alla conclusione che Sgr A* sia il sito di quel buco nero⁽³⁾.

L'immagine qui sopra è una foto ai raggi X di Sgr A*⁽⁴⁾:

Le emissioni X da Sgr A* possono essere descritte come la sovrapposizione di una sorgente puntiforme dovuta al buco nero stesso, e di una nuvola di emissione più grande di circa 2". All'interno di questa nuvola, possiamo identificare oltre un centinaio di stelle brillanti risolte individualmente, e dedurne più di un migliaio troppo piccole per essere rilevate⁽⁵⁾.

Inoltre:

la temperatura e il profilo di densità della nube di gas che circonda la nuvola di Sgr*. the temperature and density profile of the gas cloud surrounding Sgr A* (...) mostrano che più del 99% del gas non raggiunge mai il centro del buco nero, ma piuttosto è rigettato dal sistema⁽⁵⁾

Ci sono anche alcune questioni non risolte: ad esempio se il tasso di accrescimento osservato è dovuto esclusivamente a Sgr A* o se esiste un'altra sorgente aggiuntiva; o quale sia la causa della sua bassa luminosità, inferiore di diversi ordini di grandezza del suo potenziale teorico⁽⁵⁾.

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La gif animata è, in ogni caso, estratta da un video su YouTube condiviso su io9.

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Microstoria di una violazione

Succede che nel 2010 presso il RHIC gli sperimentali riescono a violare la parità in un plasma di quark e gluoni. E succede che dopo tre anni circa presso i laboratori Jefferson siano riusciti a completare una misura riguardante proprio la violazione della parità in un urto tra elettroni e quark⁽⁶⁾.
La cosa potrebbe avere un po' il gusto del tecnico, se non fosse che la parità è una trasformazione di simmetria secondo cui le leggi della fisica risultano conservate per un ribaltamento completo (inteso come cambio di segno) delle coordinate spaziali. O se preferite per uno scambio della destra con la sinistra. Una simile trasformazione lascia invariate le leggi della fisica classica, però quando si scende al livello delle particelle, questa bella simmetria risulta violata nelle interazioni deboli, quelle che guidano i decadimenti dei nuclei e dei mesoni. Infatti, e siamo poco dopo la metà del secolo scorso, succedeva che i mesoni $\theta^+$ e $\tau^+$ erano sperimentalmente identiche per massa e tempo di vita, ma presentavano dei canali di decadimento differenti e quindi dovevano anche essere due particelle distinte. I primi a proporre una soluzione alla questione furono i teorici Lee e Yang, che immaginarono come la parità non fosse strettamente conservata, avendo quindi come conseguenza che le due particelle di cui sopra altri non erano che una stessa particella, oggi chiamata kaone, che decadeva in due modi distinti⁽²⁾.

La proposta dei due teorici, pubblicata nel 1956, attese appena un anno per poter essere verificata: la mitica Madame Wu, anche detta la Marie Curie della Cina, ovvero Chien-Shiung Wu, con un gruppo costituito da Ambler, Hayward, Hoppes e Hudson, studiando il decadimento beta del cobalto 60, scoprì tra i risultati un'evidenza della violazione della parità⁽³⁾, che venne immediatamente verificata dal gruppo costituito da Garwin, Lederman e Weinrich⁽⁴⁾. Anche i loro risultati uscirono nel 1957, meritando tra l'altro la pubblicazione sullo stesso numero di Physical Review che pubblicò l'articolo di Wu e soci.
Alla fine della fiera, il Premio Nobel per la Fisica del 1957 andò a Lee e Yang che avevano predetto la violazione della parità, mentre Madame Wu dovette attendere il Premio Wolf del 1978 (il primo ad essere assegnato, tra l'altro) per vedere riconosciuti i suoi meriti sperimentali. Certo, se vogliamo essere pignoli, è andata anche peggio a Cox, McIlwraith e Kurrelmeyer che già nel 1928 furono in grado di osservare, studiando i raggi beta, la violazione della parità⁽²⁾. Il loro articolo cadde però sotto silenzio e sfuggì anche all'esame della letteratura fatto da Lee e Yang, che avevano cercato di capire qualcosa di più sulla questione da un punto di vista sperimentale. Certamente c'è da dire che all'epoca dell'esperimento di Cox e soci era piuttosto difficile immaginare il concetto di violazione della parità: non a caso il gruppo suggerì che l'asimmetria osservata dipendesse dalla polarizzazione dei raggi beta e soltanto il certosino lavoro di Amit Roy⁽⁵⁾ ha riportato alla luce questa che, letteralmente, possiamo considerare una ricerca perduta, o quasi all'interno di un percorso più vasto che mira a comprendere meglio la struttura della materia e in particolare quella dei nucleoni e delle loro interazioni. E che nel dettaglio della ricerca pubblicata su Nature porta alla conclusione che nemmeno per i quark la parità è una simmetria fondamentale⁽⁶⁾.

Disegnare col LaTeX

(via TeX - LaTeX Stack Exchange)

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Leggi anche: Graph Drawing in TikZ di Till Tantau (pdf - pdf presentazione)

I rompicapi di Alice: Il problema dei servizi

"Inizia dall'inizio", disse il Re con gravità, "e vai fino a che non arrivi alla fine; quindi fermati"
Lewis Carroll da Alice nel Paese delle Meraviglie

La teoria dei grafi inizia con la risoluzione di un problema di geometria reale. Il geniale matematico svizzero Eulero, infatti, propose in un famoso articolo⁽¹⁾ la soluzione di un rompicapo basato sulla città di Konigsberg e i suoi sette ponti:

(via David Galvin - pdf)

la cittadina prussiana è tagliata dal fiume Pregel al cui centro si trovano due isole raggiungibili attraverso sette ponti; è dunque possibile trovare un percorso chiuso (punto di inizio e punto di fine coincidono) in grado di attraversare tutti i sette ponti una e una sola volta?

All'interno dell'articolo⁽¹⁾, arricchito anche di precise illustrazioni, Eulero sviluppa le basi di quella che sarà la meglio nota teoria dei grafi, e che può essere così riassunta:
Un grafo, o reticolo, è una figura bidimensionale caratterizzata da due elementi: i nodi, ovvero dei punti di passaggio obbligatori, e gli archi, ovvero le linee che congiungono i nodi. I primi si distinguono tra nodo pari, ovvero un punto in cui converge un numero pari di archi, e nodo dispari, ovvero un punto in cui converge un numero dispari di archi. Un reticolo euleriano è, quindi, un reticolo contenente nodi pari o al più due nodi dispari. Un reticolo euleriano è completamente percorribile (e può essere disegnato) senza mai staccare la penna dal foglio, partendo da un dato nodo e finendo alla fine su di esso. Si distinguono, poi, due generi di reticoli euleriani: quello chiuso e quello aperto, dove per chiuso si intende un reticolo che inizia e finisce sullo stesso nodo, mentre uno aperto che inizia e finisce su un nodo differente. Si avrà un reticolo chiuso quando tutti i nodi sono pari, si avrà un cammino aperto quando ci saranno due nodi dispari, uno come partenza della nostra camminata lungo il reticolo e l'altro come conclusione. Eulero dimostrò che nel caso di Konigsberg il reticolo era (e continua ad esserlo ancora oggi, nonostante l'aggiornamento dei ponti) né aperto né chiuso, rispondendo quindi negativamente alla domanda iniziale⁽⁴⁾.
Il problema dei servizi, che mi venne posto qualche anno fa, è anch'esso uno di quei problemi o rompicapi che può essere analizzato utilizzando la teoria dei grafi; questo un suo possibile enunciato:

Bisogna collegare, su una superficie planare, tre case ai tre servizi essenziali di acqua, luce e gas senza che i tubi di collegamento si intersechino tra loro.

Apparentemente questo problema è di facile risoluzione e presenta tutta una serie di rompicapi equivalenti (il più truculento è quello detto della vendetta Corsa), ma la sua prima risoluzione, così come ci è stata tramandata, su carta stampata risale al 1917 e porta la firma di Henry Ernest Dudeney, sulle pagine del suo Amusements in Mathematics. Il rompicapo, però, sembra fosse noto ben prima di Dudeney: secondo Sam Loyd jr., il padre lo aveva scoperto già nel 1900, ma non lo aveva inventato lui, come anche molti storici della matematica sostengono⁽³⁾.
In effetti un problema topologicamente simile ci è stato tramandato direttamente dall'antica Persia:

Un califfo era così turbato dal gran numero di pretendenti, che decise di istituire un concorso per stabilire chi era più qualificato a sposare la figlia. Nel turno di qualificazione, agli aspiranti veniva mostrato un disegno di due urne, ciascuna con tre maniglie numerate 1, 2, e 3 da cima a fondo. Gli veniva quindi richiesto di unire 1 con 1, 2 con 2, e 3 con 3 utilizzando curve che non si intersecano tra loro o che attraversano le urne. Questo compito non era così difficile, ma figlia di un califfo non può essere vinta così facilmente. Il padre, quindi, ha insistito affinché ogni corteggiatore che ha superato il primo turno debba competere anche in una finale. Anche questa volta venivano disegnate le stesse urne, ma i numeri sulle maniglie della seconda urna erano in ordine inverso⁽³⁾.

In questo caso il problema della figlia del califfo (o almeno la parte relativa alle finali) risulta equivalente al problema dei servizi, anche nella soluzione, visto che si narra in giro che la figlia del califfo morì zitella. Infatti, pur nella sua apparente semplicità, il rompicapo risulta irrisolvibile. Infatti se si collegano due case con tutti e tre i servizi, si arriva a constatare quasi con un certo imbarazzo che la stessa cosa non la si può fare con la terza casa. A meno di non... barare, proprio come fece Dudeney⁽³⁾: